LU01c - Zahlensysteme

Vor etwa 30'000 Jahren begannen die Menschen zu zählen. Zu Beginn nutzte man dazu Gegenstände wie Steine oder Hölzchen. Mit der Zeit entstand das Bedürfnis, die Zahlen festzuhalten.

Die einfachsten Zahlensysteme bestanden einfach aus so vielen Zeichen, wie die Anzahl war. Zum Beispiel wurden 15 Kerben in einen Stein geritzt. Ein solches System ist bei grösseren Zahlen sehr aufwändig und unübersichtlich.

Ein verbessertes System nutzte spezielle Symbole, die einem bestimmten Wert entsprachen. Die Zahl entstand durch Addition der Werte aller Symbole.

Eine wesentliche Verbesserung brachten die Stellenwertsysteme, welche ursprünglich in Indien entwickelt wurden. Bei diesen Zahlensystemen hängt der Wert eines Symbols von seiner Position innerhalb der Zahl ab. Unser Dezimalsystem ist ein solches Stellenwertsystem.

Ein Computer kennt nur die beiden Zustände “kein Strom” / “Strom”. Diese beiden Zustände bilden wir mit den Ziffern 0 und 1 ab. Somit ist das Binärsystem (Dualsystem oder 2er-System) die Grundlage der Informatik.

Alle Stellenwertsystem basieren auf den gleichen Regeln. Das Wichtigste ist dabei die Basis:

• Die Basis legt fest, wie viele Ziffern-Symbole das System kennt.
• Welcher Faktor für den Wert der Stellen angewandt wird.

Dezimalsystem

Wir betrachten zunächst das Ihnen vertraute Dezimalsystem im Detail. Daraus können wir Schlüsse für andere, in der Informatik relevante Systeme ziehen.

Das Dezimalsystem (10er System),

• kennt 10 verschiedene Zahl-Symbole,
  • In Europa verwenden wir Symbole die aus Indien über den arabischen Raum kamen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
    Sie werden deshalb als arabische Ziffern bezeichnet.
  • Je nach Gebiet werden andere Symbole verwendet.
• hat die Basis 10 für die Stellen einer Zahl.
  • Die Stelle direkt vor dem Dezimalpunkt hat den Wert 10⁰ bzw. 1.
  • Nach links hat jede Stelle den zehnfachen Wert der davorliegenden Stelle.
  • Nach rechts hat jede Stelle einen Zehntel des Werts der davorliegenden Stelle.

• Jede Ziffer wird mit dem Wert seiner Position multipliziert.
• Alle Produkte (Ziffer * Wert) werden addiert.

734.25 = 7*100 + 3*10 + 4*1 + 2*0.1 + 5*0.01

Das Binärsystem oder Dualsystem verwendet die Basis 2. Daraus ergibt sich:

• Es gibt 2 unterschiedliche Symbole für die Ziffern (z.B. 0 und 1)
• Der Wert der Positionen verdoppelt sich von rechts nach links, bzw. halbiert sich von links nach rechts.

11010.101₂ = 1*16 + 1*8 + 0*4 + 1*2 + 0*1 + 1*(1/2) + 0*(1/4) + 1*(1/8)

Das Oktalsystem verwendet die Basis 8.

• 8 unterschiedliche Symbole für die Ziffern (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)
• Der Wert der Positionen erhöht sich um den Faktor 8 (bzw. wird um den Faktor 8 verkleinert).

406.41₈ = 4*64 + 0*8 + 6*1 + 4*(1/8) + 1*(1/64)

Im Oktalsystem werden jeweils 3 binäre Stellen (Bits) zusammengefasst. Dadurch lassen sich die Zahlen kompakter schreiben. Gleichzeitig ist die Umrechnung zwischen Binärsystem und Oktalsystem relativ einfach.

Das Hexadezimal-System verwendet die Basis 16.

• 16 unterschiedliche Symbole für die Ziffern (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F)
• Der Wert der Positionen erhöht sich um den Faktor 16 (bzw. wird um den Faktor 16 verkleinert).

3A2.0C₁₆ = 3*256 + 10*16 + 2*1 + 0*(1/16) + 12*(1/256)

Das Hexadezimalsystem (kurz Hex) fasst jeweils 4 binäre Stellen (Bits) zusammen. Damit können Sie ein Byte (8 Bits) mit zwei hexadezimalen Ziffern abbilden.

Gleitkommazahl

Die Fliesskommazahlen oder Gleitkommazahlen wurden entwickelt, um sehr grosse bzw. sehr kleine Zahlen effizient darzustellen. Zum Beispiel beträgt der Abstand zwischen Erde und Sonne ca. 148300000000 Meter. Als Fliesskommazahl geschrieben: 1.483 * 10¹¹ Meter.

Dabei wird neben den eigentlichen Ziffern auch noch ein Exponent als Faktor für den Wert der Ziffern gespeichert. Eine Fliesskommazahl setzt sich also aus zwei Teilen zusammen:

• Die Ziffernstellen (Mantisse) z.B. 1.483
• Der Exponent mit Basis 10, z.B. 10¹¹ = 11

Um eine Fliesskommazahl ins Dezimalsystem zu übertragen, multiplizieren Sie die Ziffernstellen mit 10 ^Exponent.

Zum Beispiel:

• 1.4356 * 10³ = 1435.6
• 0.756 * 10^-4 = 0.0000756

Eine Variable in einem Computerprogramm hat immer einen festgelegten Speicherbedarf und kann somit bestimmte Anzahl Stellen speichern. Bei einer Variable mit einem festen Dezimalpunkt gehen Ihnen irgendwann die Stellen aus. Selbst eine Variable mit 64-Bit Speicherplatz kann “nur” Zahlen mit rund 19 dezimalen Stellen speichern.

Bei einer Fliesskommazahl kann der Wertebereich dynamisch angepasst werden. Auch eine Variable vom Datentyp double hat nur 64-Bit Speicherplatz zur Verfügung. Damit können aber Zahlen mit bis zu 308 Stellen vor bzw. 324 Stellen nach dem Dezimalpunkt gespeichert werden.

Sie können das Problem mit den Festkommazahlen in einem einfachen Java-Programm ausprobieren. Kopieren Sie dazu den Code in den Online Java Compiler https://www.jdoodle.com/online-java-compiler/:

public class MyClass {
    public static void main(String args[]) {
        byte meineZahl = 0;

        while (meineZahl >= 0) {
            meineZahl++;
            System.out.println(meineZahl);
        }
    }
}

Frage: An welchem Punkt sind der Variable die Stellen ausgegangen?

Die exponentiale Schreibweise dient der vereinfachten Notation einer Fliesskommazahl. Dabei wird zwischen den Ziffernstellen und dem Exponenten der Buchstabe E eingefügt.

Lesen Sie die Zahl 1.4356E3 indem Sie das E durch “mal 10 hoch” ersetzen. Sie erhalten dann “1.4356 mal 10 hoch 3” oder “1.4356 * 10³”.

Anstatt die Zahlen umzurechnen, können Sie auch den Dezimalpunkt verschieben. Die Regel dazu lautet:

1. Verschiebe den Dezimalpunkt um so viele Stellen nach rechts oder links, wie der Exponent angibt.
2. Positiver Exponent = Rechts; Negativer Exponent = Links
3. Ergänze, soweit nötig, die fehlenden Nullen.

• 2.5678E2
  • Wir verschieben den Dezimalpunkt um 2 Stellen nach rechts; Das ergibt 256.78
• 1.87E5
  • Wir verschieben den Dezimalpunkt um 5 Stellen nach rechts; Das ergibt 187…
  • Wir ergänzen die fehlenden Nullen vor dem Dezimalpunkt; 187000
• 5.6213E-3
  • wir verschieben den Dezimalpunkt um -3 Stellen nach rechts, also um 3 Stellen nach links; Das ergibt 0.0056213

Marcel Suter